# Úpravy algebraických výrazů Úpravy algebraických výrazů zahrnují různé techniky a metody pro zjednodušení nebo řešení výrazů. Zde jsou některé z hlavních metod: --- ## Operace se zlomky ### Základní operace - **Sčítání a odčítání**: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$ - - **Sčítání více zlomků**: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} - \frac{e}{f} = \frac{a \cdot d \cdot f + c \cdot b \cdot f - e \cdot b \cdot d}{b \cdot d \cdot f}$ - **Násobení**: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ - **Dělení**: $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ ### Příklady $\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}$ $\frac{5}{6} \cdot \frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 3} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$ --- ## Užití rozkladu $a^2 - b^2$ ### Vzorec $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ ### Příklady $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ $4y^2 - 25 = (2y + 5)(2y - 5)$ --- ## Užití rozkladu $a^3 + b^3$ ### Vzorec $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ ### Příklady $x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)$ $8y^3 + 1 = (2y + 1)(4y^2 - 2y + 1)$ --- ## Užití rozkladu $a^3 - b^3$ ### Vzorec $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ### Příklady $x^3 - 8 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ $27y^3 - 1 = (3y - 1)(9y^2 + 3y + 1)$ --- ## Rozklad kvadratického trojčlenu ### Obecná forma Kvadratický trojčlen $ax^2 + bx + c$ lze rozložit na součin dvou lineárních členů: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ kde $x_1$ a $x_2$ jsou kořeny kvadratické rovnice $ax^2 + bx + c = 0$. ### Příklady $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ $2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$ --- ## Mocniny s racionálním exponentem ### Vzorec $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ ### Příklady $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4$ $27^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{27^2} = \sqrt[3]{729} = 9$ --- ## Související témata - [[Elementární funkce a jejich vlastnosti a grafy]] - [[Rovnice a nerovnice]]