--- ## Lineární rovnice v rovině Rovnice přímky v rovině má tvar: $y = mx + c$ kde $m$ je směrnice přímky a $c$ je průsečík přímky s osou $y$. v případě na obrázku: $y = kx + q$ ![[chart-linear.png]] ## Kvadratická rovnice v rovině Kvadratická rovnice v rovině má tvar: $ax^2 + bx + c = 0$ kde $a$, $b$ a $c$ jsou konstanty. Tato rovnice může mít nulový, jeden nebo dva reálné kořeny v závislosti na hodnotě diskriminantu $D = b^2 - 4ac$. ![[chart-quadratic.png]] ## Vektory Vektory jsou základními objekty v analytické geometrii a mohou být reprezentovány jako uspořádané dvojice nebo trojice čísel. $\vec{a} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \end{pmatrix}$ Operace s vektory zahrnují sčítání, odčítání, skalární násobení a skalární součin: $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \end{pmatrix}$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$ ## Průsečík dvou přímek Průsečík dvou přímek lze najít řešením soustavy dvou lineárních rovnic: $ax + by = c$ $dx + ey = f$ Řešením této soustavy získáme souřadnice průsečíku. ## Odchylka přímek Odchylku dvou přímek lze vypočítat pomocí vektorů. Pokud máme dva vektory $\vec{a}$ a $\vec{b}$, které představují směrnice přímek, odchylka $\theta$ mezi nimi je dána vztahem: $\theta = \arccos \left( \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|} \right)$ ## Vzdálenost bodu od přímky Vzdálenost bodu $(x_1, y_1)$ od přímky $ax + by + c = 0$ lze vypočítat pomocí vzorce: $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ ## Rovnice kuželoseček v posunutém tvaru Kuželosečky jsou křivky, které lze popsat druhou mocninou v rovnici. Základní typy kuželoseček zahrnují kružnice, elipsy, hyperboly a paraboly. ### Kružnice Rovnice kružnice v posunutém tvaru je: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ kde $(a, b)$ jsou souřadnice středu kružnice a $r$ je její poloměr. ![[chart-circle.png]] ### Elipsa Rovnice elipsy v posunutém tvaru je: $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ kde $(h, k)$ jsou souřadnice středu elipsy, $a$ je délka hlavní poloosy a $b$ je délka vedlejší poloosy. ![[chart-elipsis.png]] ### Hyperbola Rovnice hyperboly v posunutém tvaru je: $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ kde $(h, k)$ jsou souřadnice středu hyperboly, $a$ je délka hlavní poloosy a $b$ je délka vedlejší poloosy. ![[chart-hyperbole.png]] ### Parabola Rovnice paraboly v posunutém tvaru je: $(y - k) = a(x - h)^2$ kde $(h, k)$ jsou souřadnice vrcholu paraboly a $a$ je konstanta, která určuje šířku a směr paraboly. ![[chart-parabol.png]] ## Průsečíky kuželoseček s přímkou Průsečíky kuželoseček s přímkou lze najít řešením rovnice kuželosečky a rovnice přímky současně. Například pro kružnici a přímku: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ $y = mx + c$ Dosadíme-li druhou rovnici do první, získáme kvadratickou rovnici pro $x$, jejíž řešení nám poskytne průsečíky. ## Související témata - [[Geometrie]] - [[Elementární funkce a jejich vlastnosti a grafy]]